Ejemplos y problemas relacionados. Nivel II.

Ejemplo (Cuadrados mágicos). Un cuadrado mágico 3×3 es un arreglo numérico de tres filas y tres columnas que contiene todos los números enteros del 1 al 9, de tal manera que la suma de cada fila, columna y diagonal tiene el mismo “total mágico”. La figura que encabeza este ejemplo es un cuadrado mágico 3×3.

Dado que cualquier rotación o reflexión de un cuadrado mágico genera otro “equivalente” (por ser esencialmente el mismo), probar que el anterior es el único cuadrado mágico 3×3.
Solución. Empecemos asignando a las casillas del arreglo 3×3 valores literales que representan los números 1,2,3,…9.

Aquí va un cuadrado mágico de filas (a b c) (d e f) (g h i)

Si llamamos T al “total mágico” entonces la suma de cada fila debe ser T; esto es: a+b+c=T, d+e+f=T, g+h+i=T. Por lo tanto (a+b+c)+(d+e+f)+(g+h+i)=3T.

Observe que el lado izquierdo de la ecuación anterior es la suma de todos los valores literales, la cual debe ser igual a la suma de los números 1,2,…,9, o sea 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. En consecuencia 3T=45, así que T=15: el “total mágico” es 15 (verifíquelo en el cuadrado inicial).
Puesto que el total mágico es T=15, al sumar las dos diagonales con la fila y la columna que contienen la casilla central, el total de esa suma es 4T=60.

Aquí va un cuadrado mágico con los elementos a sumar.

La suma es  (a+e+i)+(c+e+g)+(d+e+f)+(b+e+h)=4T, lo que equivale a (a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e=4×15=60. De lo anterior se sigue que 45+3e=60 y por lo tanto e=5: el valor de la casilla central es 5.
Conociendo el total mágico, 15, y la casilla central, 5, se deduce que dos esquinas opuestas deben ser una mayor que 5 y la otra menor que 5, y más aún, de la forma 5+t y 5-t. El cuadrado siguiente satisface las condiciones mencionadas (las casillas que no son esquineras se completan conociendo los valores de las esquinas, del centro y del total mágico).

Aquí va el cuadrado mágico con las incógnitas x,y.

Asumiendo que x,y son positivos, el número más grande del cuadrado (que es 9) está en la casilla de la fila 1 y columna 2; en otras palabras, 5+x+y=9. Por lo tanto x+y=4.
Finalmente, como x,y son enteros positivos diferentes, la ecuación x+y=4 implica que uno de esos literales es 1 y el otro es 3. Si tomamos x=1, y=3, obtenemos el cuadrado mágico inicial. Observe que si hubiésemos tomado x=3, y=1, habríamos obtenido la reflexión vertical del cuadrado mágico inicial.
Lo anterior prueba que, salvo rotaciones o reflexiones, hay un único cuadrado mágico 3×3.
Problema 1. Pruebe que no existe ningún cuadrado mágico 2×2.

Problema 2. Halle el total mágico de los cuadrados mágicos 4×4.

Problema 3. Halle el total mágico de los cuadrados mágicos nxn, siendo n>2.

Problema 4. i) ¿Es generalizable el procedimiento que permitió construir “el” cuadrado mágico 3×3?

ii) Intente construir un cuadrado mágico 4×4.

 

Nota. Envíenos sus soluciones al correo jaime@robledo.com.co y le responderemos enviándole comentarios o las respuestas cuando usted las solicite. Además inscribiremos en nuestra página su nombre como uno de los participantes en esta sección de problemas.

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